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EJERCICIO SOBRE LEY DE COSENO


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Resolver el triángulo siguiente:
llamemos a al ángulo de 25° porque está opuesto al lado A; C al lado que mide 12 porque está opuesto al ángulo c. y B al lado de 9 porque está opuesto al lado b.
Lo que tenemos entónces es lo siguiente:
A = ?
B = 9
C = 12
a = 25°
b = ?
c = ?
Usando la ley del coseno tenemos sustituyendo:
realizando las operaciones queda:
A = 5.4071
Para encontrar los ángulos faltantes usaremos la ley de los senos, :
Sustituyendo los datos del problema y el valor de A que acabamos de encontrar queda:
Para encontrar el ángulo b, vamos a fijarnos en la primera igualdad:
de ésta igualdad despeja el ángulo b (una forma rápida de despejar cuando lo que queremos despejar está abajo, es como sigue:
invierte primero los quebrados - lo de arriba pásalo abajo y lo de abajo pásalo arriba-:
luego, lo que está dividiendo al sen(b) abajo, pásalo multiplicando arriba del otro lado.
y así es más rápido.)
haciendo las operaciones nos queda:
 inviértelo para que quede bien escrito:
sen (b) = 0.7034297712
y saca la función inversa del seno (el arcoseno):
b = sen-1 (0.7034297712)
b = 44. 703 = 44° 42'
El ángulo c es ahora muy fácil de encontrar, porque la suma de los ángulos internos de un triángulo siempre suma 180°. O sea que cuando tengas dos ángulos de un triángulo, el tercero siempre sale así:
c = 180° - a - b
Esta fórmula es válida para cualquier triángulo. Así que apréndetela bien o apúntala por ahí porque la usarás muchísimo en matemáticas.
Sustituimos en ésta expresión los ángulos que nos dan y queda así:
c = 180° -25°- 44°42' = 180° - 69°42' = 110°17'
c= 110°17'
y con este resultado ya queda resuelto todo el triángulo.

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TEOREMA DEL COSENO


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El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.
Si usamos una circunferencia unitaria (con radio igual a uno), entonces la hipotenusa, AB, del triángulo se hace 1, por lo que las relaciones quedan
 cos α = sen β = |AC| / |AB| = |AC| / 1 = |AC| = b


Para cualquier triangulo se verifica el Teorema del coseno que demuestra que: «El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido»:
           
a2 = b2 + c2 − 2bc * cos(A)

b2 = a2 + c2 − 2ac * cos(B) 

c2 = a2 + b2 − 2ab * cos(C)

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Función Cosecante


La función cosecante es parecida a la función seno, sólo que al revés. Esto es: en lugar de dividir el cateto opuesto entre la hipotenusa, se divide la hipotenusa entre el cateto opuesto
en principio, para obtener el valor del ángulo alpha, uno debería sacar la función inversa de la cosecante:
sin embargo, la mayoría de las calculadoras no sacan ésta función (ni siquiera la cosecante) porque suponen que el usuario sabe que es lo mismo, que sacar la función inversa del inverso del seno

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ley de coseno


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                                                  HISTORIA DE  LA LEY DE COSENO

Los Elementos de Euclides, que datan del siglo III a. C., contienen ya una aproximación geométrica de la generalización del teorema de Pitágoras: las proposiciones 12 y 13 del libro II, tratan separadamente el caso de un triángulo obtusángulo y el de un triángulo acutángulo. La formulación de la época es arcaica ya que la ausencia de funciones trigonométricas y del álgebra obligó a razonar en términos de diferencias de áreas.Por eso, la proposición 12 utiliza estos términos:

«En los triángulos obtusángulos, el cuadrado del lado opuesto al ángulo obtuso es mayor que los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo obtuso en dos veces el rectángulo comprendido por un lado de los del ángulo obtuso sobre el que cae la perpendicular y la recta exterior cortada por la perpendicular, hasta el ángulo obtuso.»
Euclides, Elementos.
Siendo ABC el triángulo, cuyo ángulo obtuso está en C, y BH la altura respecto del vértice B (cf. Fig. 2 contigua), la notación moderna permite formular el enunciado así:

Fig. 2 - Triángulo ABC con altura BH.
AB^2 = CA^2 + CB^2 + 2\ CA\ CH
Faltaba esperar la trigonometría árabe-musulmana de la Edad Media para ver al teorema evolucionar a su forma y en su alcance: el astrónomo y matemático al-Battani[4] generalizó el resultado de Euclides en la geometría esférica a principios del siglo X, lo que permitió efectuar los cálculos de la distancia angular entre el Sol y la Tierra.  Fue durante el mismo período cuando se establecieron las primeras tablas trigonométricas, para las funciones seno y coseno. Eso permitió a Ghiyath al-Kashi,[ matemático de la escuela de Samarcanda, de poner el teorema bajo una forma utilizable para la triangulación durante el siglo XV. La propiedad fue popularizada en occidente por François Viète quien, al parecer, lo redescubrió independientemente.
Fue a finales del siglo XVII cuando la notación algebraica moderna, aunada a la notación moderna de las funciones trigonométricas introducida por Euler en su libro Introductio in analysin infinitorum, permitieron escribir el teorema bajo su forma actual, extendiéndose el nombre de teorema (o ley) del coseno.

 El teorema y sus aplicaciones

El teorema del coseno es también conocido por el nombre de teorema de Pitágoras generalizado, ya que el teorema de Pitágoras es un caso particular: cuando el ángulo \gamma \, es recto o, dicho de otro modo, cuando \cos\gamma = 0 \,, el teorema del coseno se reduce a:
\,c^2=a^2+b^2
que es precisamente la formulación del teorema de Pitágoras.

Fig. 3 - Utilización del teorema del coseno: ángulo o lado desconocido.
El teorema se utiliza en triangulación (ver Fig. 3) para resolver un triángulo, y saber determinar
  • el tercer lado de un triángulo cuando conocemos un ángulo y los lados adyacentes:
c = \sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma}.
  • los ángulos de un triángulo cuando conocemos los tres lados:
\gamma = \arccos \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}.
Estas fórmulas son difíciles de aplicar en el caso de mediciones de triángulos muy agudos utilizando métodos simples, es decir, cuando el lado c es muy pequeño respecto los lados a y b —o su equivalente, cuando el ángulo γ es muy pequeño.
Existe un corolario del teorema del coseno para el caso de dos triángulos semejantes ABC y A'B'C'
\,cc' = aa' + bb' - (ab'+a' b)\cos\gamma.

 Demostracion

 Por desglose de áreas


Fig. 4a - Demostración del teorema del coseno por desglose de áreas, cuando el ángulo es agudo.
Un cierto número de las demostraciones del teorema hacen intervenir un cálculo de áreas. Conviene en efecto remarcar que
  • a², b², c² son las áreas de los cuadrados de lados respectivos a, b, c.
  • ab cos(γ) es el área de un paralelogramo de lados a y b que forman un ángulo de 90°-γ (para una prueba, ver el apéndice).
Dado que cos(γ) cambia de signo dependiendo de si γ es mayor o menor a 90°, se hace necesario dividir la prueba en 2 casos
La figura 4a (contigua) divide un heptágono de dos maneras diferentes para demostrar el teorema del coseno en el caso de un ángulo agudo. La división es la siguiente:
  • En verde, las áreas a², b² la izquierda, y el área , c² a la derecha.
  • En rojo, el triángulo ABC en ambos diagramas y en amarillo triángulos congruentes al ABC.
  • En azul, paralelogramos de lados a y b con ángulo 90°-γ.
Igualando las áreas y cancelando las figuras iguales se obtiene que a^2+b^2 = c^2+2ab\, \cos\gamma, equivalente al Teorema del coseno.

Fig. 4b - Demostración del teorema del coseno por desglose de áreas, cuando el ángulo es obtuso.
La figura 4b (contigua) desglosa un hexágono de dos maneras diferentes para demostrar el teorema del coseno en el caso de un ángulo obtuso. La figura muestra
  • En verde a², b² la izquierda y c² a la derecha.
  • En azul -2ab cos(γ), recordando que al ser cos(γ) negativo, la expresión completa es positiva.
  • En rojo, dos veces el triángulo ABC para ambos lados de la figura.
Igualando áreas y cancelando las zonas rojas da \,a^2+b^2-2ab\cos\gamma = c^2, como queríamos demostrar.

 Por el teorema de Pitágoras

Notemos que el Teorema de Cosenos es equivalente al Teorema de Pitágoras cuando el ángulo γ es recto. Por tanto sólo es necesario considerar los casos cuando c es adyacente a dos ángulos agudos y cuando c es adyacente a un ángulo agudo y un obtuso.
Primer caso: c es adyacente a dos ángulos agudos.

Caso 1: c es adyacente a dos ángulos agudos
Consideremos la figura adjunta. Por el teorema de Pitágoras, la longitud c es calculada así:
(left) c^2 = h^2 + u^2\,
Pero, la longitud h también se calcula así:
(left) h^2 = a^2 - (b-u)^2\,
Combinando ambas ecuaciones y luego simplificando obtenemos:
c^2 = a^2 - b^2 + 2bu\,
Por la definición de coseno, se tiene:
cos\gamma\,= \frac{b-u}{a}
y por lo tanto:
u = b- a \,\cos\gamma\,
Sustituimos el valor de u en la ecuación para c2, concluyendo que:
c^2 = a^2 +b^2 -2ab\, \cos \gamma
con lo que concluye la prueba del primer caso.
Segundo caso: c es adyacente a un ángulo obtuso.

Caso 2: c es adyacente a un ángulo obtuso
Consideremos la figura adjunta. El teorema de Pitágoras establece nuevamente c2 = h2 + u2 pero en este caso h2 = a2 − (b + u)2. Combinando ambas ecuaciones obtenemos c2 = u2 + a2 − b2 − 2bu − u2 y de este modo:
c^2 = a^2 -b^2 -2bu\,.
De la definición de coseno, se tiene cos\gamma\,= \frac{b+u}{a} y por tanto:
u = a\, \cos\gamma -b\,.
Sustituimos en la expresión para c² y simplificamos c² = a²-b² -2b(a cos(γ)-b), concluyendo nuevamente
c^2 = a^2 +b^2 -2ab\, \cos \gamma\,.
Esto concluye la demostración.
Es importante notar, que si se considera a u como un segmento dirigido, entonces sólo hay un caso y las dos demostraciones se convierten en la misma.

 Por la potencia de un punto con respecto a un círculo


Fig. 6 - Demostración del teorema del coseno utilizando la potencia de un punto con respecto a un círculo.
Consideremos un círculo con centro en B y radio BC, como en la figura 6. Si AC es tangente al círculo, nuevamente se tiene el Teorema de Pitágoras. Cuando AC no es tangente, existe otro punto K de corte con el círculo. LA potencia del punto A con respecto a dicho círculo es
AP\cdot AL=AC\cdot AK= AC (AC+CK).
Por otro lado, AL = c+a y AP = c-a de modo que
AP\cdot AL = (c+a)(c-a) = c^2 -a^2.
Además, CK= -2a cos(γ) (ver el apéndice) por lo que
AC(AC+CK) = b(b -2a\,cos(\gamma)).
Igualando las expresiones obtenidas se llega finalmente a:
c^2=a^2+b^2-2a\;b\,\cos(\gamma)
Contrariamente a las precedentes, para esta demostración, no es necesario recurrir a un estudio por caso pues las relaciones algebraicas son las mismas para el caso del ángulo agudo.

[editar] Por el cálculo vectorial

Utilizando el cálculo vectorial, más precisamente el producto escalar, es posible encontrar el teorema del coseno en algunas líneas:
c^2\,=\lVert\overrightarrow{\mathrm{AB}}\lVert^2
= \lVert\overrightarrow{\mathrm{CB}}-\overrightarrow{\mathrm{CA}}\lVert^2
=\lVert\overrightarrow{\mathrm{CB}}\lVert^2-2\cdot\overrightarrow{\mathrm{CB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{CA}}+\lVert\overrightarrow{\mathrm{CA}}\lVert^2
=\mathrm{CB}^2-2\cdot\left|\mathrm{CB}\right|\cdot\left|\mathrm{CA}\right|\cos\widehat{\mathrm{ACB}}+\mathrm{CA}^2
=a^2+b^2-2ab \cos\gamma\,

 Generalización en geometrías no euclídeas


Fig. 7 - Triángulo esférico: dimensiones reducidas a, b y c ; ángulos α, β y γ.
Para una superficie no euclídea de curvatura K, señalamos con R el radio de curvatura. Este verifica
\,R = 1/\sqrt{|K|}.
Definimos entonces las dimensiones reducidas del triángulo:
\,a = BC/R,
\,b = AC/R,
\,c = AB/R.
En el caso de un triángulo esférico, a, b y c corresponden a la medida angular de los segmentos de circunferencia maximal[10] [BC], [AC] y [AB] (ver Fig. 7).

 Geometría esférica

Artículo principal: Geometría esférica
Cuando el radio de curvatura es muy grande comparado con las dimensiones del triángulo, es decir cuando
\,a <\!\!< 1,
esta expresión se simplifica para dar la versión euclídea del teorema del coseno. Para hacerlo, :\,\cos a = 1 - a^2/2 + O(a^3), etc.
Existe una identidad similar que relaciona los tres ángulos:
\cos\gamma = - \cos\alpha\,\cos\beta + \sin\alpha\,\sin\beta\,\cos c


 Geometría hiperbólica

Artículo principal: Geometría hiperbólica
En un triángulo hiperbólico ABC, el teorema del coseno se escribe
\cosh c = \cosh a\,\cosh b - \sinh a\,\sinh b\,\cos\gamma.
Cuando el radio de curvatura se vuelve muy grande frente las dimensiones del triángulo, encontramos el teorema del coseno euclídeo a partir de los desarrollos limitados
\,\sinh a = a + O(a^3), etc.,
\,\cosh a = 1 + a^2/2 + O(a^3), etc.

 Generalización en el espacio euclídeo


Fig. 8 - Tetraedro: vértices, caras y ángulos.
Consideremos un tetraedro A1A2A3A4 del espacio euclídeo, siendo:
\,\mathrm S_k la cara opuesta al vértice \mathrm A_k\ ;
\,s_k la superficie de \mathrm S_k\ ;
\,\Delta_k el plano que contiene a la cara \mathrm S_k\ ;
\,\theta_{ij} el ángulo diedral \widehat{(\Delta_i, \Delta_j)}.
(La figura 8, contigua, presenta la notación de los vértices, caras y ángulos del tetraedro).
Entonces, las superficies y ángulos verifican:
\,s_4^2 = s_1^2+s_2^2+s_3^2 - 2s_1s_2\cos\theta_{12}\,
- 2s_1s_3\cos\theta_{13} - 2s_2s_3\cos\theta_{23}\,.




2ab+a.b(.b)= AC*AS"






KAROL VANESA RODRIGUEZ ROJAS


 LEY DE COSENO
La ley de cosenos se puede considerar como una extención del teorema de pitágoras aplicable a todos los triángulos. Ella enuncia así: el cuadrado de un lado de untriángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos dos lados multiplicado por el coseno del ángulo que forman. Si aplicamos este teorema al triángulo de la figura 1 obtenemos tres ecuaciones:

Resolver un triángulo significa obtener el valor de la longitud de sus tres lados y la medida de sus tres ángulos internos.
Para resolver triángulos que nos son rectángulos se utiliza la ley de cosenos y/o la ley de senos. Todo dependerá de los valores conocidos.
Ejemplo:
Supongamos que en el triángulo de la figura 1 . Encontrar la longitud del tercer lado.
Solución:
Para calcular el valor del tercer lado, podemos emplear la ley de cosenos:




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